Interprétation géométrique du module

Remarque

Soit \(\text M(z)\) un point du plan complexe, avec `z=x+iy`   où `x \in \mathbb{R}` et  `y \in \mathbb{R}` . On a :
\(\begin{align*} \left\vert z \right\vert = \sqrt{x^2+y^2} = \text O\text M = \Vert \overrightarrow{\text O\text M} \Vert \end{align*}\) .

Autrement dit, le module de  `z` représente la distance  \(\text O\text M\) (ou la norme du vecteur \(\overrightarrow{\text O\text M}\) ).

Proposition

Soit \(\vec{w}\) un vecteur du plan complexe d'affixe `z` . On a :  \(\Vert \vec{w} \Vert = \left\vert z \right\vert\) .

Démonstration

Il existe un point  \(\text M\) du plan complexe tel que \(\overrightarrow{\text O\text M}=\vec{w}\) .
Par définition, l'affixe de  \(\text M\) est égale à celle de `\vec{w}` . On a donc :  \(\Vert \vec{w} \Vert = \Vert \overrightarrow{\text O\text M} \Vert = \left\vert z \right\vert\) .